Question

【題目】已知各項是正數的數列的前n項和為．

（1）若（nN*，n≥2），且．

①求數列的通項公式；

②若對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（2）數列是公比為q（q＞0， q1）的等比數列，且{an}的前n項積為．若存在正整數k，對任意nN*，使得為定值，求首項的值．

Answer 1

【答案】（1）①②（2）

【解析】

試題分析：（1）①當時，由 可得 兩式相減得，即，，數列為等差數列，可得，②由①知，，所以，可得對一切恒成立，記，，判斷數列的單調性，求出最大項，從而可得結果；（2）設（），，兩邊取常用對數，． 令，則數列是以為首項，為公差的等差數列， 若為定值，令，化為.對恒成立，問題等價于，從而可得結果.

試題解析：（1）①當時，由

則

兩式相減得，即，

當時，，即，

解得或（舍），

所以，即數列為等差數列，且首項，

所以數列的通項公式為.

②由①知，，所以，

由題意可得對一切恒成立，

記，則，，

所以，，

當時，，當時，，且，，，

所以當時，取得最大值，

所以實數的取值范圍為.

（2）由題意，設（），，兩邊取常用對數，． 令，則數列是以為首項，為公差的等差數列， 若為定值，令，則，

即對恒成立，

因為，問題等價于

將代入，解得.

因為，所以，

所以，又故.