Question

15．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，又$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，則$\overrightarrow c•\overrightarrow a$的最大值等于5．

Answer 1

分析 由題意求得cosθ=$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{a}$ 與$\overrightarrow{b}$的夾角θ=$\frac{π}{3}$．設(shè)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$．又$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即C的軌跡為以AB為直徑的圓，由此可得C的軌跡方程．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，又$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，
∴2•2•cosθ=2，即cosθ=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$ 與$\overrightarrow{b}$的夾角θ=$\frac{π}{3}$．
在平面直角坐標系中，設(shè)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$．
又$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，∴$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即C的軌跡為以AB為直徑的圓．
∴C的軌跡方程為（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
設(shè)C（x，y），則$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=2x．
∴當x取得最大值$\frac{5}{2}$時，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$取得最大值5．
故答案為：5．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．