Question

【題目】已知函數（且）.

（1）判斷函數的奇偶性；

（2）判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；

（3）當時，若不等式對于恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）奇函數（2）詳見解析（3）1

【解析】

（1）利用奇偶性的定義判斷即可；

（2）利用單調性的定義判斷即可；

（3）利用函數性質化抽象不等式為對恒成立，然后變量分離，轉求最值即可.

（1）因為函數的定義域為，

所以

所以函數為奇函數.

（2）

當時，在上是減函數，

當時，在上是增函數，

證明如下：

任取，則

因為，所以，，所以

所以當時，，，

所以，故函數在上是減函數.

所以當時，，所以，

所以，故函數在上是增函數.

（3）由（1）知，是奇函數，，即.

當時，由（2）知，在上是減函數，從而在上是減函數，故對恒成立，即對恒成立.

因為在上是減函數，所以的值域為.

所以，故實數的最大值為1.