Question

（14分）

已知函數(shù)滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有．

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的解析式；

（3）是否存在，，使得等式

成立？若存在就求出（），若不存在，說明理由．

Answer 1

解 （1）時(shí)，，，  …………………2分

所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．…3分

（2）因?yàn)?sub>，

所以，當(dāng)，時(shí)，， ……………………4分

 6分

（3）考慮函數(shù)，，，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，． ………………………………10分

所以，

而，

令，則，

兩式相減得，

．

所以，，

故．……………………12分

所以，．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

．

所以，存在唯一一組實(shí)數(shù)，，

使得等式成立．  …………………………14分