Question

已知直角三角形的斜邊為2，斜邊上的高為

3

2

，求證此直角三角形的兩個銳角是下列三角方程的根sin2x-

1+ 3

2

sinx+

3

4

=0．

Answer 1

分析：設AD=k，進而根據AB表示出DB，進而根據直角三角形的性質可知CD²=AD•DB，進而整理得關于k的一元二次方程，求得k，進而求得兩個銳角的值為30°，60°分別代入sin2x-

1+ 3

2

sinx+

3

4

=0，結果為0判斷出三角形的兩個銳角是原三角方程的根．

解答：證明：設AD=k（如圖）
∵AB=2，
∴DB=2-k．
由CD²=AD•DB，
∴(

3

2

)2=k(2-k)，
k2-2k+

3

4

=0，k=

3

2

或

1

2

．
在直角△ACD中，
當AD=k=

3

2

時，tgA=

CD

AD

=

3 2

3 2

=

3

3

，
∴A=30°，B=60°．
當AD=k=

1

2

時，tgA=

CD

AD

=

3 2

1 2

=

3

，
∴A=60°，B=30°．
總之，兩銳角一為30⁰，一為60⁰．
當x=30°時，代入原方程中得sin230°-

1+ 3

2

sin30°+

3

4

=(

1

2

)2-

1+ 3

2

•

1

2

+

3

4

=0；
當x=60°時，代入原方程中得sin260°-

1+ 3

2

sin60°+

3

4

=(

3

2

)2-

1+ 3

2

•

3

2

+

3

4

=0．；
故這個直角三角形的兩個銳角是原三角方程的根．

點評：本題主要考查了三角形中的幾何計算，方程的根，解三角形等問題．