Question

若f（x）為定義在R上的函數，且f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則f（x）為 （　　）

A、奇函數且周期函數

B、奇函數且非周期函數

C、偶函數且周期函數

D、偶函數且非周期函數

Answer 1

分析：令t=10+x代入第一個式子，結合第二個式子判斷出函數是奇函數；再令x-10=m結合已知的式子求出函數的周期是20．

解答：解：令t=10+x，則10-x=20-t，f（t）=f（20-t），
∴f（20+t）=f（-t）
∵f（20+x）=-f（20-x）
∴f（t）=-f（-t），∴f（x）是奇函數
∴f（10-x）=f（x-10）=f（x+10），
令x-10=m，則x+10=m+20，
有f（m）=f（m+20），所以f（x）是以T=20為周期的奇函數．
故選A．

點評：本題考察了函數的奇偶性和周期性，利用整體代換和題意求出函數的周期，以及判斷出函數的奇偶性．