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已知向量
a
=(cosx,-
1
2
),
b
=(
3
sin x,cos 2x),x∈R,設函數f(x)=
a
b

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,
4
]
上的最大值和最小值.
分析:(1)利用向量的數量積運算,結合二倍角、輔助角公式,化簡函數,即可求f(x)的最小正周期;
(2)由0≤x≤
4
,可得-
π
6
≤2x-
π
6
3
,由正弦函數的性質,可求f(x)在[0,
4
]
上的最大值和最小值.
解答:解:(1)∵向量
a
=(cosx,-
1
2
),
b
=(
3
sinx,cos2x),
∴函數f(x)=
a
b
=(cosx,-
1
2
)•(
3
sinx,cos2x)=
3
cosxsinx-
1
2
cos2x=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=cos
π
6
sin2x-sin
π
6
cos2x=sin(2x-
π
6
).
∴f(x)的最小正周期為T=
ω
=
2
=π,
即函數f(x)的最小正周期為π.
(2)∵0≤x≤
4

∴-
π
6
≤2x-
π
6
3

∴由正弦函數的性質,
當2x-
π
6
=
π
2
,即x=
π
3
時,f(x)取得最大值1.
當2x-
π
6
=-
π
6
,即x=0時,f(0)=-
1
2

當2x-
π
6
=
3
,即x=
4
時,f(x)=-
3
2

∴f(x)的最小值為-
3
2

因此,f(x)在[0,
4
]
上最大值是1,最小值是-
3
2
點評:本題考查向量的數量積運算、二倍角、輔助角公式,考查正弦函數的性質,考查學生的計算能力,正確化簡是關鍵.
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4
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b

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x
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a
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b
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x
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,試求此時
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t
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a
=(cosθ,sinθ),向量
b
=(2
2
,-1),則|3
a
-
b
|的最大值是
 

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