Question

無論m為任何實(shí)數(shù)，直線l：y=x+m與雙曲線C：

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）恒有公共點(diǎn)
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（2）若直線l過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，并且滿足

FP

=

1

5

FQ

，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求雙曲線C的離心率e的取值范圍，只需找到a，c 的齊次不等式，根據(jù)直線l：y=x+m與雙曲線C：

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）恒有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程后，方程組必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齊次不等式，離心率e的取值范圍可得．
（2）先設(shè)直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出y₁，y₂，代入

FP

=

1

5

FQ

，化簡，即可求出b²，代入

x2

2

-

y2

b2

=1即可．

解答：解：（1）聯(lián)立

y=x+m         (1) x2 2 - y2 b2 =1    (2)

，得b²x²-2（x+m）²-2b²=0
（b²-2）x²-4mx-2（m²+b²）=0
當(dāng)b²=2時，m=0，直線與雙曲線無交點(diǎn)，矛盾
∴b²≠2．∴e≠

2

．
∵直線與雙曲線恒有交點(diǎn)，△=16m²+8（b²-2）（m²+b²）≥0恒成立
∴16m²+8（b²-2）m²+8（b²-2）b²≥0
∴b²≥2-m²，∴e≥

2

．e＞

2

．
（2）F（c，0）．L，y=x-c，

y=x-c x2 2 - y2 b2 =1

，（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0   
∴

y1+y2 = -2cb2 b2-2 y1y2= b2c2-2b2 b2-2

∵

FP

=

1

5

FQ

，∴y1=

1

5

y2，
整理得，

c2b4

9(b2-2)

=

b2c2-2b2

5

∵b²＞0，∴c²-2=b²，

b2+2

9(b2-2)

=

1

5

，∴b²=7
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

7

=1

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線離心率范圍的求法，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷，屬于綜合題．