Question

無論m為任何實數，直線l：y=x+m與雙曲線C：（b＞0）恒有公共點
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（2）若直線l過雙曲線C的右焦點F，與雙曲線交于P，Q兩點，并且滿足，求雙曲線C的方程．

Answer 1

解：（1）聯立，得b²x²-2（x+m）²-2b²=0
（b²-2）x²-4mx-2（m²+b²）=0
當b²=2時，m=0，直線與雙曲線無交點，矛盾
∴b²≠2．∴e≠．
∵直線與雙曲線恒有交點，△=16m²+8（b²-2）（m²+b²）≥0恒成立
∴16m²+8（b²-2）m²+8（b²-2）b²≥0
∴b²≥2-m²，∴e≥．e＞．
（2）F（c，0）．L，y=x-c，
，（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0
∴
∵，∴，
整理得，=
∵b²＞0，∴c²-2=b²，=，∴b²=7
∴雙曲線C的方程為
分析：（1）欲求雙曲線C的離心率e的取值范圍，只需找到a，c 的齊次不等式，根據直線l：y=x+m與雙曲線C：（b＞0）恒有公共點，聯立方程后，方程組必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齊次不等式，離心率e的取值范圍可得．
（2）先設直線l的方程，與雙曲線方程聯立，求出y₁，y₂，代入，化簡，即可求出b²，代入即可．
點評：本題考查了雙曲線離心率范圍的求法，以及直線與雙曲線位置關系的判斷，屬于綜合題．