Question

設A={x|≥1}，B={x|x²-2x+2m＜0}．
（1）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求實數m的值；
（2）若B⊆A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知：A={x|-1＜x≤5}，
又∵A∩B={x|-1＜x≤4}，∴x=4必為方程x²-2x+2m=0的一根，
即 4²-8+2m=0，解得m=-4．…（4分）
（2）（ⅰ）當B=∅時，滿足B⊆A，此時必有方程x²-2x+2m=0的△≤0，即4-8m≤0，
解得 m≥．…（6分）
（ⅱ）當B≠∅時，要使B⊆A，必有方程x²-2x+2m=0的兩根滿足-1＜x₁＜x₂≤5，
則，即，解得-≤m≤．…（10分）
綜上知：若B⊆A，則m≥-．…（12分）
分析：（1）解分式不等式≥1，可以求出集合A，由A∩B={x|-1＜x＜4}，結合不等式解集的端點與方程根的關系，可得x=4必為方程x²-2x+2m=0的一根，代入構造關于m的方程，即可求出實數m的值；
（2）若B⊆A，我們分B=∅時，此時方程x²-2x+2m=0的△≤0，B≠∅時，要使B⊆A，必有方程x²-2x+2m=0的兩根
滿足-1＜x₁＜x₂≤5，最后綜合討論結果，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是集合關系中的參數取值問題，集合的交集及其運算，其中（1）的關鍵是根據不等式解集的端點與方程根的關系，得到x=4必為方程x²-2x+2m=0的一根；（2）的關鍵是要對集合B進行分類討論，解答時，易忽略B=∅時，滿足B⊆A，而將（2）錯解為-≤m≤．