Question

在平面直角坐標系中，已知圓經過點和點，且圓心在直線上，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點.
（1）求圓的方程, 同時求出的取值范圍；
（2）是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）    
（2）沒有符合題意的常數,直線不存在.

(1) 圓心在AB的中垂線方程為和直線,兩直線方程聯立解方程組即可求出圓心的坐標.再根據圓過點,即可求出圓C的方程.根據圓心到直線的距離小于半徑可求出k的取值范圍.
(2) 由，
因為與共線，所以
（1）AB的中垂線方程為………… 1分  
聯立方程得圓心坐標…… 1分
故圓的方程為………………………………………… 3分
(1)求圓的方程2:設設圓的方程為,      依題意得
得
故圓的方程為………………………………………… 3分
方法一 由直線與圓相交，得圓心C到直線的距離小于半徑
∴………………………………………… 6分
方法二：聯立方程組

由……………………………… 7分
（Ⅲ）設，，
因為與共線，所以………………………………8分
 ……………… 11分
(注意:有”1分”的過程分)
由第（2）問可知，故沒有符合題意的常數,直線不存在.
(2)法二：若存在兩個不同的點M,N，設MN中點為D,則//OD，且…………………………………8分
解得，…………11分
，所以線圓相切,矛盾（酌情分步給分）(或者此時矛盾)