Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），n∈N^*，令bn=

1

an•an+1

，且數列{b_n}的前項和為T_n．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列，并寫出a_n關于n的表達式；
（2）若不等式λTn＜

n+8

5

（λ為常數）對任意正整數n均成立，求λ的取值范圍；
（3）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由S_n=na_n-n（n-1），n∈N*①
則當n≥2時，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得a_n=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
整理得，a_n-a_n-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{a_n}為等差數列，且公差為2，a_n=1+2（n-1）=2n-1；                     
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

若不等式λTn＜

n+8

5

對任意正整數n均成立，則λ＜

1

5

•

(2n+1)(n+8)

n

=

1

5

[2(n+

4

n

)+17]對任意正整數n均成立，
∵n+

4

n

≥4，當且僅當n=2∈N*時取“=”，
∴

1

5

[2(n+

4

n

)+17]的最大值為5∴λ＜5；                                   
（3）假設存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列
則（T_m）²=T₁•T_n，即(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

所以，

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

從而，

4m2+4m+1

m2

=

6n+3

n

=6+

3

n

＞6
所以，2m²-4m-1＜0，即1-

6

2

＜m＜1+

6

2

因為，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此時，n=12
故，當且僅當m=2，n=12時，使得T₁，T_m，T_n成等比數列．