Question

已知數列{a_n}的前n項和為A_n，且對任意正整數n，都滿足：ta_n-1=A_n，其中t＞1為實數．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n為楊輝三角第n行中所有數的和，即b_n=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ，B_n為楊輝三角前n行中所有數的和，亦即為數列{b_n}的前n項和，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）涉及通項及前n項和，通常是再寫一式，兩式相減，進而可得相鄰項之間的關系，從而利用數列為等比數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）分別求出前n項和為A_n，B_n，再求極限，注意分類討論．
解答：解：（1）由已知ta_n+1-1=A_n+1，ta_n-1=A_n，相減得ta_n+1-ta_n=a_n+1，由t-1＞0得，又ta₁-1=a₁，得，故數列{a_n}是一個以為首項，以為公比的等比數列．（4分）
從而n∈N^*；                   （6分）
（2），（7分）
又b_n=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，故B_n=2（2ⁿ-1），（11分）
于是，
當，即t=2時，，
當，即t＞2時，，
當，即1＜t＜2時，不存在．（14分）
點評：本題的考點是數列的極限，主要考查等比數列的通項，考查數列的極限，關鍵是掌握涉及通項及前n項和，通常是再寫一式，兩式相減的方法．