Question

已知探照燈的軸截面是拋物線y²=x，下圖所示為平行于對稱軸y=0(即x軸)的光線在拋物線上的點P、Q的反射情況，設點P的縱坐標為a(a＞0),問a取何值時，從入射點P到反射點Q的光線的路程PQ最短.

Answer 1

分析：將光源置于拋物線鏡面的焦點處，光線經拋物鏡面反射成一束平行光束.因此，入射線與反射線成平行狀態，那么光線必過焦點F.

解：由題設P(a²,a)，故直線PQ的方程為

y=(x-),

    即4ax-(4a²-1)y-a=0.

    解方程組

    得y=-,y=a.

    由此可知點Q(,-).

∴|PQ|=|PF|+|FQ|=a²++≥2+=1.

    當且僅當a²=，即a=時，上式等號成立.

    這時a=，入射點為(,),反射點為(,-).這時P、Q關于x軸對稱.