Question

已知某探照燈的軸截面是拋物線y²=x，如圖所示，表示平行于對(duì)稱軸y=0（即x軸）的光線與拋物線上的點(diǎn)P、Q的反射情況，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a(a＞0)，a取何值時(shí)，從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的光線路程PQ最短?

Answer 1

思路解析：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)，光源置于拋物鏡面的焦點(diǎn)處，光經(jīng)拋物面反射成一束射出，因此，入射光線與反射光線成平行狀態(tài)，那么光線PQ必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).

解：由題設(shè)知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a²，a)，故直線PQ的方程為：

y=(x-),即4ax-(4a²-1)y-a=0.

解方程組得y₁=-,y₁=a（舍去）,∴x=.

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，-).∴|PQ|=|PF|+|FQ|=a²++.

要求由入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的路程最小時(shí)的參數(shù)a的值，利用均值不等式，有|PQ|=(a²+)+≥2+=1.當(dāng)且僅當(dāng)a²=，即a=時(shí)，上式等號(hào)成立.∴ 入射點(diǎn)P(,),反射點(diǎn)Q(，-)時(shí)，路程PQ最短，這時(shí)P、Q恰關(guān)于x軸對(duì)稱.