Question

【題目】如圖，正方體中，，P，Q分別是棱和的中點(diǎn).

（1）求異面直線和所成角的大小；

（2）求以，，P，Q四點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn)的四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出坐標(biāo)，進(jìn)而求得坐標(biāo)，按照空間向量夾角公式，求出夾角余弦的絕對值，即可求解；

（2）由已知條件可得平面，求出的面積，即可求出三棱錐體積.

（1）以D為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>x軸正方向，

方向?yàn)?/span>y軸正方向，方向?yàn)?/span>z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

得，，，．

故，．

設(shè)與所成的角的大小為．

則．

故與所成的角的大小為．

（2）該四面體是以為底面，P為頂點(diǎn)的三棱錐．

由正方體可得平面，四邊形為正方形，則且，

P，Q分別是棱和的中點(diǎn)，則且，

所以，四邊形為平行四邊形，所以，得平面，

所以P到平面的距離，的面積．

因此四面體的體積．