Question

若

a

，

b

，

c

均為單位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，

c

=x

a

+y

b

（x，y∈R），則x+y的最大值是（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：由題設知

c

2=(x

a

+y

b

) 2=x2+y2+2xy

a

•

b

=x²+y²-xy=1，設x+y=t，y=t-x，得3x²-3tx+t²-1=0，由方程3x²-3tx+t²-1=0有解，知△=9t²-12（t²-1）≥0，由此能求出x+y的最大值．

解答：解：∵

a

，

b

，

c

均為單位向量，
且

a

•

b

=-

1

2

，

c

=x

a

+y

b

（x，y∈R），
∴

c

2=(x

a

+y

b

) 2=x2+y2+2xy

a

•

b

=x²+y²-xy=1，
設x+y=t，y=t-x，得：x²+（t-x）²-x（t-x）-1=0，
∴3x²-3tx+t²-1=0，
∵方程3x²-3tx+t²-1=0有解，
∴△=9t²-12（t²-1）≥0，
-3t²+12≥0，
∴-2≤t≤2
∴x+y的最大值為2．
故選A．

點評：本題考查平面向量的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意平面向量的數量積和換元法的靈活運用．本題也可用基本不等式解答