Question

已知函數，（x＞0）．
（Ⅰ）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求證：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]（m≠0），求m的取值范圍．

Answer 1

（I）證明：∵x＞0，∴
∴f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和，即．
∴2ab=a+b＞．
故，即ab＞1．
（II）解：不存在滿足條件的實數a，b．
若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=的定義域、值域都是[a，b]，
則a＞0，
①當a，b∈（0，1）時，在（0，1）上為減函數．
故，即，解得a=b．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
②當a，b∈[1，+∞）時，在（1，+∞）上是增函數．
故，即
此時a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
③當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此時不存在適合條件的實數a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．
（III）若存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a＞0，m＞0．
①當a，b∈（0，1）時，由于f（x）在（0，1）上是減函數，故．
此時刻得a，b異號，不符合題意，所以a，b不存在．
②當a∈（0，1）或b∈[1，+∞）時，由（ II）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵在[1，+∞）上是增函數，
∴，即
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個根，即關于x的方程mx²-x+1=0有兩個大于1的實根．
設這兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∴，即
解得．
故m的取值范圍是．
分析：（I）確定函數解析式，利用函數的單調性，可得，利用基本不等式，即可得出結論；
（II）分類討論，若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=的定義域、值域都是[a，b]，從而可得結論；
（III）分類討論，若存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]，即可得出結論．
點評：本題考查函數解析式的運用，考查基本不等式，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．