Question

（2010•武漢模擬）已知函數f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）=0有且僅有一個實數根，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在這樣的常數a∈(-∞，

3

2

]，使得直線y=1與y=f（x）相切，如果存在，求出a，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，然后對函數求導可得f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1），分別令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函數的單調增區間，單調減區間；
（2）由于f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]，所以關于x的方程f（x）=0有且僅有一個實數根等價于，對于關于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0無實根或僅有零根，因為方程沒有零根，所以二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0無實根，所以判別式＜0，故可求a的范圍；
（3）假設y=1與y=f（x）相切于點（x₀，y₀），則函數在極值點處與y=1相切，從而分類討論：x₀=a及x₀=a-1，由此可得方程，故可求符合條件的a值．

解答：解：（1）由f（x）=2x³+3（1-2a）x+6a（a-1）x求導數得到f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1）
=6（x-a）（x-a+1）
∴y=f（x）在（-∞，a-1]上為增函數；
在[a-1，a]上為減函數；在[a，+∞）上為增函數．…（4分）
（2）由f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]
對于關于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0無實根或僅有零根，僅有零根不可能則判別式△=[3（1-2a）]²-4•2•6a（a-1）
=3（-2a+3）（2a+1）＜0
∴a＞

3

2

或a＜-

1

2

故所求a的范圍為(-∞，-

1

2

)∪(

3

2

，+∞)…（8分）
（3）設y=1與y=f（x）相切于點（x₀，y₀）則

y0=2 x 3 0 +3(1-2a) x 2 0 +6a(a-1)x0=1 6(x0-a)(x0-a+1)=0

在x₀=a時，則2a³+3（1-2a）a²+6a²（a-1）=1
∴2a3-3a2=1，而2a3-3a2=2a2(a-

3

2

)≤0或a≤

3

2

時恒成立．
∴2a³-3a²=1不可能成立．
在x₀=a-1時，則2（a-1）³+3（1-2a）（a-1）²+6a（a-1）²=1
化簡為2a3-3a2=0，則a=0或a=

3

2

符合a≤

3

2

．
因此所求符合條件的a值分別為0或

3

2

．…（13分）

點評：本題的考點是導數的應用，主要考查函數的單調性，導數的幾何意義，考查方程根的判斷，求函數的單調區間關鍵是先求函數的定義域，然后結合導數的符號進行求解，此類問題容易忽略對定義域的判斷．利用導數的幾何意義設出切點坐標是解決該問題的關鍵