Question

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)，直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）若ln（x+1）＜x+c對(duì)任意x都成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，∴f'（1）=1．
∴直線l的斜率為1，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．（2分）
又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，
∴方程組

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

有一解．
由上述方程消去y，并整理得x²+2（m-1）x+9=0①
依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=[2（m-1）]²-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（7分）
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取最大值，其最大值為2，
（Ⅲ）．ln（x+1）-x＜c恒成立，所以c≥（ln（x+1）-x）_max，
由（Ⅱ）可知ln（x+1）-x的最大值為0，
所以c≥0．