Question

已知函數f（x）=，g（x）=alnx，aR．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
（2）設函數h（x）=f（x）﹣g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值的解析式；
（3）對（2）中的，證明：當a（0，+）時，1

Answer 1

解：（1）函數f（x）=，g（x）=alnx，aR．
f '（x）=，g '（x）=（x＞0），
由已知得解得
兩條曲線交點的坐標為（e²，e）．
切線的斜率為k=f '（e²）=，
切線的方程為y﹣e=（x﹣e²）．
（2）由條件知h（x）=﹣alnx（x＞0），
h '（x）=﹣=，
①當a＞0時，令h '（x）=0，解得x=4a²．
當0＜x＜4a²時，h '（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上單調遞減；
當x＞4a²時，h '（x）＞0，h（x）在（4a²，+）上單調遞增．
x=4a²是h（x）在（0，+）上的惟一極值點，且是極小值點，從而也是h（x）的最小值點．
最小值（a）=h（4a²）=2a﹣aln（4a²）=2a[1﹣ln （2a）]．
②當a0時，h '（x）=＞0，h（x）在（0，+）上單調遞增，無最小值．
故h（x）的最小值（a）的解析式為（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．
（3）證明：由（2）知（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），
則'（a）=﹣2ln （2a）．
令'（a）=0，解得a=．
當0＜a＜時，'（a）＞0， （a）在（0，）上單調遞增；
當a＞時，'（a）＜0， （a）在（，+）上單調遞減．
（a）在a=處取得極大值?（）=1．
（a）在（0，+）上有且只有一個極值點，
（）=1也是（a）的最大值．
當a（0，+）時，總有（a）1．