Question

10．設函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+x
（Ⅰ）在f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+x（0＜x≤2）圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）不等式f（x）≥a+1，對x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，問題轉化為a≥${（{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，2]，根據二次函數的性質求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數f（x） 的導數，令g（x）=x²+x-a，（x≥1），通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，結合函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$+1，x∈（0，2]，
則有k=f′（x₀）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}{+x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，在x₀∈（0，2]上恒成立，
所以a≥${（{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，2]，
當x₀=2時，$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀取得最大值4，所以a≥4；
（Ⅱ）由不等式f（x）≥a+1，對x∈[1，+∞）恒成立，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，令g（x）=x²+x-a，（x≥1），
則g（x）是x∈[1，+∞）上的增函數，即g（x）≥2-a，
①當a≤2時，g（x）≥0，所以f′（x）≥0，因此f（x）是x∈[1，+∞）上的增函數，
則f（x）≥f（1）=0，因此a≤2時，不等式成立；   
②當a＞2時，即對x∈[1，+∞），f′（x）=0時，g（x）=0，
求得x₁=$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，（由于x≥1，所以舍去x₂=-1-$\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}$）
當x∈[1，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）時，f′（x）＜0，則f（x）是x∈[1，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）上的減函數，
當x∈$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞）時，f′（x）＞0，
則f（x）是x∈（$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞）上的增函數，
所以當x∈（1，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）時，f（x）＜f（1）=0，
因此a＞2時，不等式不成立；
綜合上述，所求范圍是a≤2．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．