【題目】已知函數.
(I)求函數的單調區間;
(II)若在
上恒成立,求實數
的取值范圍;
(III)在(II)的條件下,對任意的,求證:
.
【答案】(I)當時,
在
上單調遞增,無單調遞減區間,當
時,
的單調遞增區間為
,單調遞減區間為
;(II)
;(III)證明見解析.
【解析】試題分析:(I)利用時
為單調增函數,
時
為單調減函數這一性質來分情況討論題中
單調區間問題;(II)根據函數單調性與最值,若
在
上恒成立,則函數的最大值小于或等于零.當
時,
在
上單調遞增,
,說明
時
,不合題意舍去.當
時,
的最大值小于零.但
在
上恒成立,所以
只能等于零.令
即可求得答案;(III)首先將
的表達式表達出來,化簡轉化為
的形式,再根據(II)的結論得到
,后逐步化簡
,原命題得證.
試題解析:(I),
當時,
恒成立,則函數
在
上單調遞增,無單調遞減區間;
當時,由
,得
,由
,
得,此時
的單調遞增區間為
,單調遞減區間為
.
(II)由(I)知:當時,
在
上遞增,
,顯然不成立;
當時,
,只需
即可,
令,則
,
在
上單調遞減,在
上單調遞增.
.
對
恒成立,也就是
對
恒成立,
,解得
,
若
在
上恒成立,則
.
(III)證明:,
由(II)得在
上恒成立,即
,當且僅當
時取等號,
又由得
,所以有
,即
.
則,
則原不等式成立. ………(12分)
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,曲線
的參數方程為
(
,
為參數),在以
為極點,
軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線
是圓心在極軸上,且經過極點的圓.已知曲線
上的點
對應的參數
,射線
與曲線
交于點
.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)若點,
在曲線
上,求
的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】菜農定期使用低害殺蟲農藥對蔬菜進行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農藥,食用時需要用清水清洗干凈,下表是用清水(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農藥
(單位:微克)的統計表:
(1)令,利用給出的參考數據求出
關于
的回歸方程
.(
,
精確到0.1)
參考數據:,
,
其中,
(2)對于某種殘留在蔬菜上的農藥,當它的殘留量不高于20微克時對人體無害,為了放心食用該蔬菜,請估計至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精確到0.1,參考數據)
附:對于一組數據,
,…,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,
,(
為常數)
(1)若在
處的切線方程為
(
為常數),求
的值;
(2)設函數的導函數為
,若存在唯一的實數
,使得
與
同時成立,求實數
的取值范圍;
(3)令,若函數
存在極值,且所有極值之和大于
,求
的取值范圍.
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【題目】“一帶一路”國際合作高峰論壇圓滿落幕了,相關話題在網絡上引起了網友們的高度關注,為此,21財經APP聯合UC推出“一帶一路”大數據微報告,在全國抽取的70千萬網民中(其中為高學歷)有20千萬人對此關注(其中
為高學歷).
(1)根據以上統計數據填下面列聯表;
(2)根據列聯表,用獨立性檢驗的方法分析,能否有的把握認為“一帶一路”的關注度與學歷有關系?
高學歷(千萬人) | 不是高學歷(千萬人) | 合計 | |
關注 | |||
不關注 | |||
合計 |
參考公式: 統計量的表達式是
,
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線
的參數方程為
(
為參數),以坐標原點為極點,以
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)寫出的普通方程和
的直角坐標方程;
(2)設點在
上,點
在
上,求
的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】4月16日摩拜單車進駐大連市旅順口區,綠色出行引領時尚,旅順口區對市民進行“經常使用共享單車與年齡關系”的調查統計,若將單車用戶按照年齡分為“年輕人”(20歲~39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類,抽取一個容量為200的樣本,將一周內使用的次數為6次或6次以上的稱為“經常使用單車用戶”。使用次數為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”,已知“經常使用單車用戶”有120人,其中是“年輕人”,已知“不常使用單車用戶”中有
是“年輕人”.
(1)請你根據已知的數據,填寫下列列聯表:
年輕人 | 非年輕人 | 合計 | |
經常使用單車用戶 | |||
不常使用單車用戶 | |||
合計 |
(2)請根據(1)中的列聯表,計算值并判斷能否有
的把握認為經常使用共享單車與年齡有關?
(附:
當時,有
的把握說事件
與
有關;當
時,有
的把握說事件
與
有關;當
時,認為事件
與
是無關的)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某教師有相同的語文參考書3本,相同的數學參考書4本,從中取出4本贈送給4位學生,每位學生1本,則不同的贈送方法共有( )
A. 15種 B. 20種 C. 48種 D. 60種
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發芽多少之間的關系進行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發芽數,得到如下資料:
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發芽數 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從3月1日至3月5日中任選2天,記發芽的種子數分別為,求事件“
均小于25”的概率;
(2)請根據3月2日至3月4日的數據,求出關于
的線性回歸方程
;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)所得的線性回歸方程是否可靠?
(參考公式:回歸直線方程為,其中
,
)
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