Question

已知函數y=log3(x2+2x-

1

4

a2+

5

2

a-3)的定義域為R
（1）求a的取值范圍；
（2）若函數g（a）=2+log₂a+log₂a×|log₂a-3|，求g（a）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意可得二次函數t=x²+2x-

1

4

a²+

5a

2

-3 的判別式 △=4-4×[-

1

4

a2+

5

2

a-3]=a²-10a+16＜0，解此一元二次不等式求得a的取值范圍．
（2）令t=log₂a，則t∈（1，3），故 g（a）=h（t）=2+t+t|t-3|=-（t-2）²+6，利用二次函數的性質求得g（a）的值域．

解答：解：（1）由于函數y=log3(x2+2x-

1

4

a2+

5

2

a-3)的定義域為R，故對于二次函數t=x²+2x-

1

4

a²+

5a

2

-3，
依題意可得它的判別式 △=4-4×[-

1

4

a2+

5

2

a-3]=a²-10a+16＜0，解得2＜a＜8，故a的取值范圍為（2，8）．
（2）令t=log₂a，則t∈（1，3），故 g（a）=h（t）=2+t+t|t-3|=-t²+4t+2=-（t-2）²+6，
當t∈（1，3）時，由二次函數的性質可得h（t）∈（5，6]，
所以g（a）的值域為（5，6]．

點評：本題主要考查指數型復合函數的性質，求二次函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．