Question

（2013•綿陽一模）已知{a_n}是遞增數列，且對于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，則實數λ的取值范圍是

（-3，+∞）

．

Answer 1

分析：由對于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，知a_n+1-a_n=（n+1）²+λ（n+1）-n²-λn=2n+1+λ，由{a_n}是遞增數列，知a_n+1-a_n＞a₂-a₁=3+λ＞0，由此能求出實數λ的取值范圍．

解答：解：∵對于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，
a_n+1-a_n=（n+1）²+λ（n+1）-n²-λn=2n+1+λ，
∵{a_n}是遞增數列，
∴a_n+1-a_n＞0，
又a_n+1-a_n=（n+1）²+λ（n+1）-n²-λn=2n+1+λ
∴當n=1時，a_n+1-a_n最小，
∴a_n+1-a_n＞a₂-a₁=3+λ＞0，
∴λ＞-3．
故答案為：（-3，+∞）．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，具體涉及到數列的性質，解題時要認真審題，注意函數思想的靈活運用，是基礎題．