Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：面AEC⊥面PDB；
（2）當PD=

2

2

AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）通過四邊形ABCD是正方形，證明PD⊥底面ABCD，然后證明AC⊥平面PDB，即可證明平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）設AC與BD交于O點，連接EO，則易得∠AEO為AE與面PDB所成的角，在Rt△AEO中，即得AE與面PDB所成角的正切值為2．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵AC?平面AEC
∴平面平面AEC⊥平面PDB；
（2）設AC與BD交于O點，連接EO
則易得∠AEO為AE與面PDB所成的角           
在Rt△AEO中，OE=

1

2

PD=

2

4

AB，
AO=

2

2

AB
故AE與面PDB所成角的正切值為2．

點評：本題考查直線與平面的位置關系，平面與平面垂直，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，計算能力．