Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c．若

AB

•

AC

=

CA

•

CB

=k(k∈R)
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若k=2，求b的值．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合正弦定理，可得△ABC為等腰三角形；
（2）由（1）知bccosA=bc•b2+c2-a22bc=b22=2，從而可求b的值．

解答：解：（1）

AB

•

AC

=

CA

•

CB

=k(k∈R)，
∴cbcosA=abcosC，
根據(jù)正弦定理可得sinCcosA=sinAcosC，
即sinCcosA-sinAcosC=0，
∴sin（A-C）=0，
∴A=C，
∴a=c，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）由（1）知bccosA=bc•

b2+c2-a2

2bc

=

b2

2

=2，
∴b=2

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查向量的數(shù)量積，正確運用正弦定理、余弦定理是關鍵．