Question

【題目】已知函數 ，其反函數為y=g（x）．
（1）若g（mx2+2x+1）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在實數m＞n＞2，使得函數y=h（x）的定義域為[n，m]，值域為[n2 ， m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數 ，可得其反函數為y= ，

因為 定義域為R，

即有mx2+2x+1＞0恒成立，

所以 ，

解得m∈（1，+∞）；

（2）解：令 ，

即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，

當a＞2，區間[ ，2]為減區間，t=2時，ymin=7﹣4a；

當 ≤a≤2，t=a時，ymin=3﹣a2；

當a＜ ，區間[ ，2]為增區間，t= 時，ymin= ﹣a．

則 ；

（3）解：h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上單調遞減．

所以 ，兩式相減得，

m+n=4，與m＞n＞2矛盾，

所以不存在m，n滿足條件

【解析】（1）求得g（x）= ，由定義域為R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；（2）令 ，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2 ， 討論對稱軸和區間的關系，運用單調性，即可得到所求最小值；（3）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上單調遞減，可得h（n）=m2 ， h（m）=n2 ， 兩式相減，即可判斷．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．