Question

2．設f（x）=ax³+bx²+cx的極小值為-2，其導函數y=f′（x）的圖象是經過點（-1，0），（1，0）開口向上的拋物線，如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若m≠-2，且過點（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極小值，根據圖象可得f'（1）=0，f'（1）=0，f（1）=-2，即可求出a，b，c的值，
（2）先將過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線轉化為：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數根，記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導數研究函數g（x）的零點，從而求得m的范圍

解答 解：（1）由圖象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（-1，1）上f'（x）＜0．在（1，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上遞增，在（-1，1）上遞減．
因此f（x）在x=1處取得極小值，
∴f（1）=a+b+c=-2
∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
∴f'（-1）=0，f'（1）=0，
∴-1+1=$\frac{-2b}{3a}$，即b=0，-1×1=$\frac{c}{3a}$，即c=-3a，
∴a=1，b=0，c=-3，
∴f（x）=x³-3x，
（2）過點A（1，m）向曲線y=f（x）作切線，設切點為（x₀，y₀）
則y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
則切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
將A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數根、
記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2
由題意有，當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+3＞0}\\{m+2＜0}\end{array}\right.$，解得-3＜m＜-2時函數g（x）有三個不同零點、
此時過點A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是（-3，-2）

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的極值、單調性，以及觀察圖形的能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．