Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，B=45°，AC=$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{\sqrt{5}，}}{5}$，求
（1）求BC的長；
（2）若點D是AB的中點，求中線CD的長度．

Answer 1

分析 （1）求出sinA，由正弦定理可得BC；
（2）由正弦定理可得AB=$\frac{\sqrt{5}•\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，利用三角形中線的求法，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意sinA=sin（135°-C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
由正弦定理可得BC=$\frac{\sqrt{5}sinA}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{5}•\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3；
（2）由正弦定理可得AB=$\frac{\sqrt{5}•\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴8+4CD²=2（9+5）
∴$CD=\sqrt{5}$．

點評 本題考查正弦定理的運用，考查三角函數知識的運用，屬于中檔題．