Question

（平）定義在R上的函數f（x）滿足，且當0≤x₁＜x₂≤1時，有f（x₁）≤f（x₂），則f（）等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，令x=1，反復利用f（x ）=f（x），可得f（ ）= f（ ）=，再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（），同理反復利用f（x ）=f（x），可得f（ ）=f（ ）=，可求f（），進而可求f（）
解答：：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
令x=1得：f（1）=1，
又f（x ）=f（x），
∴當x=1時，f（ ）= f（1）=；
令x=，由f（x ）= f（x）
f（）=f（ ）=；
同理可求：f（ ）= f（）=；
f（ ）=f（ ）=；
f（ ）= f（ ）=①
再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（ ）=，
令x=，反復利用f（x ）= f（x）
可得f（）=）=f（ ）=；
f（ ）= f（ ）=；
…
f（ ）=f（ ）= ②
由①②可得：f（）=f（ ）=，
∵當0≤x₁＜x₂≤1時，有f（x₁）≤f（x₂），
而0＜＜＜＜1
所以有f（）≥f（ ）=，
f（）≤f（ ）=
∴f（）=
∴f（）=
故選C
點評：本題考查抽象函數及其應用，難點在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，兩次賦值后都反復應用f（x）=f（x），從而使問題解決，屬于難題．