Question

定義在R上的函數f（x）滿足：如果對任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，則稱f（x）是R上凹函數．已知二次函數f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求證：當a＞0時，函數f（x）的凹函數；
（2）如果x∈[0，1]時，|f（x）|≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）的解析式，根據凹函數定義即可驗證；
（2）由|f（x）|≤1表示出關于a的不等式，利用分離參數法，根據x的取值范圍進行分析可得答案．

解答：（1）證明：∵二次函數f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈R，則f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2）=-

1

2

a(x1-x2)2
∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴

1

2

a(x1-x2)2≥0
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴當a＞0時，函數f（x）的凹函數；
（2）解：由-1≤f（x）=ax²+x≤1，則有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0時，則a∈R恒成立，
（ii）若x∈（0，1]時，有 a≥-

1

x

-

1

x2

且a≤-

1

x

+

1

x2

∴a≥-

1

x

-

1

x2

=-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

且a≤-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1．
∴當

1

x

=1時，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

的最大值為-（1+

1

2

）²+

1

4

=-2，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

的最小值為（1-

1

2

）²-

1

4

=0
∴-2≤a≤0；
又由a≠0，則a的范圍是-2≤a＜0；
綜（i）（ii）知，-2≤a＜0

點評：本題考查新定義--凹函數，考查學生對新定義的理解，考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，屬于中檔題．