Question

（平）定義在R上的函數f（x）滿足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且當0≤x₁＜x₂≤1時，有f（x₁）≤f（x₂），則f（

2011

2012

）等于（　　）

• A．

  7

  8

• B．

  15

  16

• C．

  31

  32

• D．

  63

  64

Answer 1

分析：令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，令x=1，反復利用f（

1

5

x ）=

1

2

f（x），可得f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

，再令x=

1

2

，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（

1

2

），同理反復利用f（

1

5

x ）=

1

2

f（x），可得f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

，可求f（

1

2012

），進而可求f（

2011

2012

）

解答：解：：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
令x=1得：f（1）=1，
又f（

1

5

x  ）=

1

2

f（x），
∴當x=1時，f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

；
令x=

1

5

，由f（

1

5

x ）=

1

2

f（x）
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

；
同理可求：f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

；
f（

1

625

）=

1

2

f（

1

125

）=

1

16

；
f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

①
再令x=

1

2

，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（

1

2

）=

1

2

，
令x=

1

2

，反復利用f（

1

5

x  ）=

1

2

f（x）
可得f（

1

10

）=）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

；
f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

；
…
f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

②
由①②可得：f（

1

1250

）=f（

1

3125

）=

1

32

，
∵當0≤x₁＜x₂≤1時，有f（x₁）≤f（x₂），
而0＜

1

3125

＜

1

2012

＜

1

1250

＜1
所以有f（

1

2012

）≥f（

1

3125

）=

1

32

，
       f（

1

2012

）≤f（

1

1250

）=

1

32

∴f（

1

2012

）=

1

32

∴f（

2011

2012

）=

31

32

故選C

點評：本題考查抽象函數及其應用，難點在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，兩次賦值后都反復應用f（

1

5

x）=

1

2

f（x），從而使問題解決，屬于難題．