Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD,ADAB，CD//AB且AB=AD，PA與底面ABCD成60角，點M，N分別是PA，PB的中點.

（Ⅰ）求證：AB平面PAD；

（Ⅱ）求二面角P-MN-D的大小；

（Ⅲ）當為何值時，DNBC，并請證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵PD底面ABCD，AB底面ABCD，∴PDAB

　　　又∵ADAB且AD平面PAD，PDAD=D，

　　　　∴AB平面PAD；３分

（Ⅱ）解：∵點M，N分別是PA，PB的中點，

∴MN//AB，由（Ⅰ）知AB平面PAD，

∴MN平面PAD，

∴MNPM，MNMD，

∴PMD為二面角P-MN-D的平面角，

∵PD底面ABCD，∴PA與底面ABCD所成的角即為PAD，

∴PAD＝60，∵為直角三角形斜邊的中點，

∴為等腰三角形，且MPD＝30，∴PMD＝120；

（Ⅲ）過點N作NO//PD交BD點O，∵PD底面ABCD,

　　　∴NO底面ABCD,BD為直線ND在底面ABCD上的射影，

　　　要DNBC，由三垂線定理的逆定理有要BDBC，

　設AD=，則由AB=AD得AB=，

　又ADAB∴在直角三角形ABD中，BD=，

∴，

∵CD//AB，∴ABD=BDC，cosABD=cosBDC=，

在直角三角形BDC中，

DC=，

，即時，DNBC

（Ⅲ）以點D為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設AD=，則AB=2，PD=，設DC=，則

A(,0,0),B(,2,0),P(0,0,),C(0, ,0)

則N()，，,

而，時時，

而.