Question

如圖所示，已知兩動點P、Q依次在兩條射線x+y=0(x＞0),x-y=0(x＞0)上，△POQ的面積為定值4（O為坐標原點），設G是△POQ的重心，求|OG|的最小值.

Answer 1

分析：利用△POQ的面積及P、Q所在曲線求出△POQ重心G的軌跡方程進而確定|OG|的取值范圍及最小值.

解：設P（y₁,-y₁）、Q(y₂,y₂)，

其中y₁＞0,y₂＞0，易知∠xOP=∠xOQ=30°，則

4=S_△POQ=·|OP|·|OQ|·sin60°=·2y₁·2y₂·，即y₁y₂=4.①

設G（x,y），由三角形的重心公式得

②²-3×③²并代入①式，消去y₁和y₂，得到動點G的軌跡是雙曲線x²-3y²=的右支，即x≥.所以|OG|的最小值為.

點撥：一定要熟練掌握各種圓錐曲線的幾何性質，才能在做此類問題時對其加以靈活運用.