Question

如圖所示，已知兩定點A（-6，0）和B（2，0），O為坐標原點，動點P對線段AO、BO所張的角相等，求動點P的軌跡方程.

Answer 1

分析：設動點P（x,y），由∠APO=∠BPO，根據角平分線定理得=3，列出等式，化簡整理即得.但應注意曲線上的點與方程的解對應的點是否一一對應.

解：如圖所示，設動點P（x,y），由動點P對線段AO、OB所張角相等，得∠APO=∠BPO，由角平分線定理，得=.

∴=3.整理得x²+y²-6x=0.

由方程可知圓過原點，但當P和原點重合時無意義，∴x≠0.

∴所求方程為x²+y²-6x=0(x≠0).

又由題意可知P點落在x軸上除線段AB以外的任何點處均有∠APO=∠BPO=0°，∴又有方程y=0(x＜-6或x＞2).

故動點P的軌跡方程為x²+y²-6x=0(x≠0)或y=0(x＜-6或x＞2).

點撥：求軌跡方程時經常遇到“去”和“補”的問題，當所求的方程包括不合題意的點時，必須去掉，當所求的方程不含其他合乎條件的點時，必須補出來.