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(本小題12分)設函數.

(1)求的單調區間;

(2)若=1 ,為整數,且當0時,,求的最大值.

 

(1)若,則,此時函數在R上單調遞增;

,則當時,;當時,.所以函數上單調遞減;在上單調遞增.

(2)整數的最大值為2.

【解析】

試題分析:(1)首先根據函數的表達式可判斷其定義域,然后對其進行求導可得,由于導函數中含有參數,將其分為兩種情況:①,此時易判斷出函數在R上單調遞增;②,可求出其極值點,然后判斷函數在極值點的左右兩側的單調性即可;

(2)首先將問題“當0時,”轉化為“恒成立,其中”,即,記,求其導函數,由(1)知,函數上單調遞增,且在上存在唯一的零點,即上存在唯一的零點.從而得出函數的最小值并求出其取值范圍,進而得出整數的最大值.

試題解析:(1)函數的定義域為R,所以.

,則,此時函數在R上單調遞增;

,則當時,;當時,.所以函數上單調遞減;在上單調遞增.

(2)因為,所以,所以當時,等價于,其中.

,則.

由(1)知,函數上單調遞增,而,所以上存在唯一的零點,故上存在唯一的零點.設此零點為,則.

時,;當時,;所以上的最小值為.又由可得,,所以,所以,故整數的最大值為2.

考點:1、利用導數判斷函數的單調性;2、導數在研究函數的最值中的應用.

 

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B.若,,則

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,則

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