Question

從正方體的8個頂點中選取4個點，連接成一個四面體，這個四面體可能為：
①每個面都是直角三角形；
②每個面都是等邊三角形；
③有且只有一個面是直角三角形；
④有且只有一個面是等邊三角形．
其中正確的說法有________．（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

①②④
分析：我們把正方體中的所有三棱錐分為兩類：第一類：在底面ABCD的三個頂點中任取三個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取一個作為三棱錐的第四個頂點，
第二類：在底面ABCD的三個頂點中任取兩個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取兩個作為三棱錐的另外兩個頂點，從而得出正方體中的所有三棱錐的情況．
解答：我們把正方體中的所有三棱錐分為兩類：第一類：在底面ABCD的三個頂點中任取三個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取一個作為三棱錐的第四個頂點，一種是如圖（1）中的三棱錐A₁-ABD，其中三個面是直角三角形，
第四個 面是等邊三角形；另一種是如圖（1）中的三棱錐D₁-BCD，四個面都是直角三角形．
第二類：在底面ABCD的三個頂點中任取兩個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取兩個作為三棱錐的另外兩個頂點，一種是如圖（2）中的三棱錐A₁-BC₁D，其中四個面是等邊三角形；另一種是如圖（2）中的三棱錐A₁-BB₁D，其中三個面是直角三角形，第四個面是等邊三角形．
綜上可知：①②④正確，而③不可能有．
故答案為①②④．
點評：對正方體中的所有三棱錐進行正確分類是解題的關鍵．