Question

設a∈R，且a＞0，解關于x的不等式

a(x-1)

x-2

＞1．

Answer 1

分析：關于x的不等式

a(x-1)

x-2

＞1，即

(a-1)x-(a-2)

x-2

＞0，即[（a-1）x-（a-2）]•[x-2]＞0．利用二次函數的性質，分a=1、a＞1、0＜a＜1、三種情況，分別求得不等式的解集．

解答：解：關于x的不等式

a(x-1)

x-2

＞1，即

(a-1)x-(a-2)

x-2

＞0，即[（a-1）x-（a-2）]•[x-2]＞0．
（1）當a=1時，不等式即x-2＞0，解得 x＞2，不等式的解集為（2，+∞）．
（2）當a≠1時，
①若 a＞1，則

a-2

a-1

＜2，不等式即 （x-

a-2

a-1

）（x-2）＞0，
求得它的解集為（-∞，

a-2

a-1

）∪（2，+∞）．
②若a＜1，則a-1＜0，不等式化為（x-

a-2

a-1

）（x-2）＜0．
若0＜a＜1，則

a-2

a-1

＞2，不等式的解集為（2，

a-2

a-1

）．
綜上可得，當a=1時，不等式的解集為（2，+∞）；
當a＞1時，不等式的解集為（-∞，

a-2

a-1

）∪（2，+∞）；
當0＜a＜1時，不等式的解集為（2，

a-2

a-1

）；

點評：本題主要考查分式不等式的解法、一元二次不等式的解法，體現了分類討論與轉化的數學思想，屬于中檔題