Question

（2013•醴陵市模擬）向量

m

=(a+1，sinx)，

n

=(1，4cos(x+

π

6

))，設函數g（x）=

m

•

n

（a∈R，且a為常數）．
（1）若x為任意實數，求g（x）的最小正周期；
（2）若g（x）在[0，

π

3

)上的最大值與最小值之和為7，求a的值．

Answer 1

分析：先根據向量的數量積的坐標表示及輔助角公式，二倍角公式求出函數g（x）=2sin（2x+

π

6

）+a
（1）根據周期公式T=

2π

ω

可求周期
（2）由x得范圍可求2x+

π

6

的范圍，結合正弦函數的性質可分別求解函數的最大值與最小值，可求

解答：解：∵g(x)=

m

•

n

=a+1+4sinxcos(x+

π

6

)（2分）
=

3

sin2x-2sin2x+a+1
=

3

sin2x+cos2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a（6分）
（1）由周期公式可得，T=

2π

2

=π（8分）
（2）∵0≤x＜

π

3

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

＜

5π

6

當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，y_max=2+a（10分）
當2x+

π

6

=

π

6

，即x=0時，y_min=1+a
∴a+1+2+a=7，即a=2．（12分）

點評：本題主要考查了向量數量積的坐標表示的基本運算，三角公式的二倍角公式、輔助角公式在化解中的應用及正弦函數性質的應用．