Question

已知y_n＝2log_ax_n(a＞0且a≠1，n∈N^*)，已知y₄＝17，y₇＝11．

(1)求證：數(shù)列{y_n}是等比數(shù)列；

(2)數(shù)列{y_n}的通項公式；

(3)數(shù)列{y_n}的前多少項的和為最大？最大值為多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵yn+1－yn＝2loga()n+1－2loga()n＝2loga()常數(shù)(n≥1)． 　　∴數(shù)列{yn}為等差數(shù)列; 　　(2)設數(shù)列{yn}的公差為d，由y4＝17，y7＝11． 　　得 　　解得y1＝23，d＝－2， 　　∴yn＝25－2n． 　　即數(shù)列{yn}的通項為yn＝25－2n(n≥1); 　　(3)解：令 　　得 　　∵n∈N*． 　　∴n＝12． 　　∴{yn}的前12項之和最大，最大值為S12＝144; 　　(3)由(2)知，當n＞12時，yn＜0成立． 　　∵yn＝2logaxn， 　　∴xn＝a． 　　當a＞1，且n＞12時，有xn＝a＜a＝1． 　　這與題意不符，故0＜a＜1． 　　由0＜a＜1，且n＞12，有xn＝a≥a＞2． 　　故所求a的取值范圍為0＜a＜