Question

已知y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求證：數列{y_n}是等差數列；
（2）數列{y_n}的通項公式；
（3）數列{y_n}的前多少項的和為最大？最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）要證明數列{y_n}為等差數列，只要證明y_n+1-y_n為常數（n≥1）．
（2）由y₄=17，y₇=11，結合等差數列的通項公式可求y₁，d，進而可求
（3）令

yn≥0 yn+1≤0.

可得n的范圍，結合n∈N^*可求n，代入可求
（3）由（2）知，當n＞12時，y_n＜0成立，由y_n，可求x_n．結合已知范圍可求a的范圍
當a＞1，且n＞12時，有x_n=a^

ya

2

＜a⁰=1．
這與題意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a^

ya

2

≥a^-

1

2

＞2．
故所求a的取值范圍為0＜a＜

1

4

．

解答：（1）證明：∵y_n+1-y_n=2log_a（

1

2

）ⁿ⁺¹-2log_a（

1

2

）ⁿ=2log_a（

1

2

）常數（n≥1）．
∴數列{y_n}為等差數列．
（2）設數列{y_n}的公差為d，由y₄=17，y₇=11．
得

y1+3d=17 y1+6d=11.

解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=25-2n．
即數列{yn}的通項為y_n=25-2n（n≥1）．
（3）解：令

yn≥0 yn+1≤0.

得

25-2n≥0 23-2n≤0.

∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12項之和最大，最大值為S₁₂=144．
（3）由（2）知，當n＞12時，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=a^

ya

2

．
當a＞1，且n＞12時，有x_n=a^

ya

2

＜a⁰=1．
這與題意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a^

ya

2

≥a^-

1

2

＞2．
故所求a的取值范圍為0＜a＜

1

4

．

點評：本題主要考查了等差數列的判斷、等差數列的通項公式及求和公式的應用，和的最值的判斷及求解