Question

已知在（1-2x）ⁿ的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則（1-2x）ⁿ（1-x）的展開式中，x⁴項(xiàng)的系數(shù)是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，（1-2x）ⁿ的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則2ⁿ=64，解可得n=6；進(jìn)而分析（1-2x）⁶（1-x）的展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)，由兩種情況可以得到，即（1-2x）⁶中x的系數(shù)為4，在（1-x）中取1；或（1-2x）⁶中x的系數(shù)為3，在（1-x）中取（-x）；分別計(jì)算其數(shù)目，相加可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，（1-2x）ⁿ的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，
則2ⁿ=64，解可得n=6；
則（1-2x）⁶（1-x）的展開式中，
x⁴項(xiàng)由兩種情況得到，（1-2x）⁶中x的系數(shù)為4，在（1-x）中取1；或（1-2x）⁶中x的系數(shù)為3，在（1-x）中取（-x）；
則x⁴項(xiàng)的系數(shù)1×C₆⁴×（-2）⁴+（-1）×C₆³×（-2）³=400；
故答案為400．
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別．