Question

16．數列{a_n}的通項公式為${a_n}={n^2}$，前n項和記為S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃．
（2）用數學歸納法證明：${S_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過n=1，2，3求解S₁，S₂，S₃．即可．
（2）利用數學歸納法的證明步驟證明即可．

解答 解：（1）數列{a_n}的通項公式為${a_n}={n^2}$，前n項和記為S_n．
n=1時，S₁=a₁=1，
n=2時，a₂=4，S₁=a₁+a₂=5；
n=2時，a₃=9，S₁=a₁+a₂+a₃=14；
（2）證明：①當n=1時，S₁=$\frac{1×2×3}{6}$=1，成立；
②假設n=k時，等式成立，即：${S}_{k}=\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$成立，
則n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}+（k+1）^{2}$
=$\frac{k（k+1）（2k+1）+6（k+1）^{2}}{6}$=$\frac{（k+1）（2{k}^{2}+7k+6）}{6}$=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$，
這就是說n=k+1時等式也成立，
由①②可知：${S_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$恒成立．

點評 本題考查數學歸納法的應用，數列的遞推關系式的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．