Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）求f（x）的極大值；
（2）求f（x）在區間（﹣∞，0]上的最小值；
（3）若x2+5x+5﹣aex≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

當x＜﹣3時，f′（x）＜0

當﹣3＜x＜0時，f′（x）＞0

當x＞0時，f′（x）＜0

所以函數f（x）在（﹣∞，﹣3）上為單調遞減函數

在（﹣3，0）上為單調遞增函數

在（0，+∞）上為單調遞減函數

因此函數f（x）在x=0處有極大值f（0）=5

（2）解：由（1）得函數f（x）在（﹣∞，﹣3）上為單調遞減函數，

在（﹣3，0）上為單調遞增函數

所以函數f（x）在x=﹣3處有最小值f（﹣3）=﹣e3

（3）解：

由（2）得函數f（x）在區間（﹣∞，0]上有最小值﹣e3

當x＞0時，f（x）＞0

所以函數f（x）在定義域中的最小值為﹣e3，所以a≤﹣e3

即a的取值范圍為（﹣∞，﹣e3]

【解析】（1）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極大值即可；（2）根據函數的單調性，求出函數在閉區間的最小值即可；（3）問題轉化為 ，根據函數的單調性得到函數f（x）在區間（﹣∞，0]上有最小值﹣e3 ， 從而求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．