Question

如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，P是AB邊上的點，AB=3，AD=2
（1）設AP=x，△DPE的周長為y，求函數y=f（x）的解析式；
（2）當∠DPE取得最大值時，求AP的值．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數的值

專題：數形結合,函數思想,函數的性質及應用

分析：（1）根據題意列出y=

x2+1

+

x2+4

+1，0≤x≤3，（2）轉化為）tan∠DPE═

1

x+ 2 x

，0＜x≤3，利用函數單調性，也可以利用基本不等式求解即可．

解答： 解：（1）∵在矩形ABCD中，E是AD的中點，P是AB邊上的點，AB=3，AD=2
∴AP=x，△DPE的周長為y，
y=

x2+1

+

x2+4

+1，0≤x≤3，

（2tan（∠APD-∠APE）=

tan∠APD-tan∠APE

1+tan∠APD•tan∠APE

=

2 x - 1 x

1+ 2 x • 1 x

=

1

x+ 2 x

，0＜x≤3
∵m（x）=x+

2

x

在（0，

2

）單調遞減，（

2

，3）單調遞增
∴m（x）_min=m（

2

）=2

2

，
∴

1

x+ 2 x

的最大值為

1

2 2

=

2

4

．
此時x=

2

，
∵當∠DPE取得最大值時，tan∠DPE取得最大值．
∴當∠DPE取得最大值時，AP的值為

2

．

點評：本題考查了函數思想在求解幾何圖形中的應用，運用基本不等式求解或單調性求解，屬于應用題目，但是難度不大．