Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b滿足|ka+b|=

3

|a-kb|（k＞0），
（1）求a與b的數(shù)量積用k表示的解析式f（k）； 
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的k值；
（3）求向量a與向量b的夾角的最大值．

Answer 1

分析：（1）由，|

a

|=|

b

|=1且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，兩邊平方化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得4k

a

•

b

=k2+1，
從而可求f（k）
（2）若

a

⊥

b

可得

a

•

b

=

k2+1

4k

=0是否有解，來(lái)判斷

a

和

b

是否垂直
若

a

∥

b

可得|

a

•

b

|=|

a

||

b

|即

k2+1

4k

=1是否有解，來(lái)判斷

a

和

b

是否平行
（3）設(shè)

a

與

b

夾角為θ，根據(jù)向量的夾角公式可得cosθ=

a • b

| a || b |

=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

=(

k

2

)2+(

1

2 k

)2
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）由題，|

a

|=|

b

|=1且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
所以(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，
化簡(jiǎn)可得4k

a

•

b

=k2+1，
∴f(k)=

a

•

b

=

k2+1

4k

(k＞0)；
（2）若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=

k2+1

4k

=0，而

k2+1

4k

=0無(wú)解，因此

a

和

b

不可能垂直；
若

a

∥

b

，則|

a

•

b

|=|

a

||

b

|即

k2+1

4k

=1，解得k=2±

3

，
綜上，

a

和

b

不可能垂直；
當(dāng)

a

和

b

平行時(shí)，k=2±

3

；
（3）設(shè)

a

與

b

夾角為θ，
則cosθ=

a • b

| a || b |

=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

=(

k

2

)2+(

1

2 k

)2
=(

k

2

-

1

2 k

)2+

1

2

≥

1

2

因此，當(dāng)且僅當(dāng)

k

2

=

1

2 k

即k=1時(shí)，cosθ有最小值為

1

2

，此時(shí)，向量

a

與

b

的夾角有最大值為60°．

點(diǎn)評(píng)：（1）考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：|

a

|=

a 2

（2）考查了平面向量的垂直與平行的坐標(biāo)表示：

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0；

a

∥

b

?x₁y₂-x₂y₁=0
（3）考查了向量的夾角公式與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．