Question

已知函數f（x）=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（Ⅰ）求實數b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在區間[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當x＜1時，f（x）=-x³+x²+bx+c，則f'（x）=-3x²+2x+b．依題意得：

f(0)=0 f′(-1)=-5

，由此能求出實數b，c的值．
（Ⅱ）由f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

知，當-1≤x＜1時，f′(x)=-3x2+2x=-3x(x-

2

3

)，令f'（x）=0得x=0或x=

2

3

，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況列表知f（x）在[-1，1）上的最大值為2．當1≤x≤2時，f（x）=alnx．當a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；當a＞0時，f（x）在[1，2]上單調遞增．當aln2≤2時，f（x）在區間[-1，2]上的最大值為2；當aln2＞2時，f（x）在區間[-1，2]上的最大值為aln2．
（Ⅲ）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

解答：解：（Ⅰ）當x＜1時，f（x）=-x³+x²+bx+c，則f'（x）=-3x²+2x+b．
依題意得：

f(0)=0 f′(-1)=-5

，即

c=0 -3-2+b=-5

解得b=c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

①當-1≤x＜1時，f′(x)=-3x2+2x=-3x(x-

2

3

)，
令f'（x）=0得x=0或x=

2

3

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-1，0）	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又f（-1）=2，f(

2

3

)=

4

27

，f（0）=0．∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當1≤x≤2時，f（x）=alnx．當a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；
當a＞0時，f（x）在[1，2]上單調遞增．∴f（x）在[1，2]最大值為aln2．
綜上，當aln2≤2時，即a≤

2

ln2

時，f（x）在區間[-1，2]上的最大值為2；
當aln2＞2時，即a＞

2

ln2

時，f（x）在區間[-1，2]上的最大值為aln2．
（Ⅲ）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．
不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，∴

OP

•

OQ

=0
即-t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²代入（*）式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程無解，因此t＞1．此時f（t）=alnt，
代入（*）式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0即

1

a

=(t+1)lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′(x)=lnx+

1

x

+1＞0
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∵t＞1∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．
∴對于a＞0，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．
因此，對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角
三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

點評：本題考查導數的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．