Question

某養殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格為1.8元，飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．
（1）求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小；
（2）若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料不少于5噸時其價格可享受八五折優惠（即原價的85%）．問該廠是否考慮利用此優惠條件，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）我們設該廠應隔n（n∈N₊）天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y₁元，由已知中該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格為1.8元，飼料的保管費為平均每公斤每天0.03元（當天用掉的飼料不計保管費用），購買飼料每次支付運費300元．我們求出y₁的解析式，然后利用基本不等式，即可求出y₁取最小值時的n值；
（2）若廠家利用此優惠條件，則至少25天購買一次飼料，設該廠利用此優惠條件，每隔n天（n≥25）購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y₂元，我們計算y₂的解析式，進而根據基本不等式求出y₂的最小值，與（1）中所得y₁的最小值比較后，即可得到結論．

解答：解：（1）設該廠應隔n（n∈N₊）天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y₁元…（1分）
∵飼料的保管費用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴x天飼料的保管費用共是6（n-1）+6（n-2）+…+6=3n²-3n…（2分）
從而有 y1=

1

n

(3n2-3n+300)+200×1.8…（3分）=

300

n

+3n+357≥417…（5分）
當且僅當

300

n

=3n，即n=10時，y₁有最小值417  …（6分）
即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小．
（2）若廠家利用此優惠條件，則至少25天購買一次飼料，設該廠利用此優惠條件，每隔n天（n≥25）購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y₂元，則 y2=

1

n

(3n2-3n+300)+200×1.8×0.85=

300

n

+3n+303(x≥25)…（8分）
∵y2′=-

300

n2

+3
∴當x≥25時，y₂^′＞0，即函數y₂在[25，+∞）上是增函數…（10分）
∴當x=25時，y₂取得最小值390
∵390＜417，故該廠應該利用此優惠條件    …（12分）．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，以及導數在最值問題中的應用．屬于基礎題．