Question

【題目】已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線與橢圓在第一象限內的交點是，點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，橢圓另一個焦點是，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點．若，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據與橢圓在第一象限內的交點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，且，結合性質，列出關于 、 、的方程組，求出 、即可得結果；(2) 設直線l的方程為，由，可得,由韋達定理求得的坐標，由數量積公式求得的坐標，從而求得的坐標，根據列方程求解的值，從而可得結果.

(1)因為橢圓方程為，點M在直線上，且點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點，則點．

，

，解得．

∴橢圓方程為；

（2）設直線l的方程為，，

由，可得

解得或，所以，

設，有

由，得 ，

所以，解得

由，得P為OA的垂直平分線與l的交點，所以

由，得，得，解得

所以，直線l的方程為